यदि फलन $g(x) = \begin{cases} ae^x, & x \le 0 \\ b\cos x + x, & x > 0 \end{cases}$ अवकलनीय है,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह फलन जो $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है, वह है

मान लीजिए कि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है, जहाँ $f^{\prime}(x)$ सतत है, $f^{\prime}(0)=1$ और $f^{\prime \prime}(0)$ का अस्तित्व नहीं है। यदि $g(x)=x f^{\prime}(x)$ है, तो,

फलन $f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(0) = 0$ के लिए $x = 0$ पर:

कथन $(A)$: $f(x) = |x|$,$x = a \neq 0$ पर अवकलनीय है और $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।
कारण $(R)$: यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है,तो वह उस बिंदु पर सतत होता है। लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।

मान लीजिए कि $f$ एक $R$ से $R$ तक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x, y \in R$ के लिए $|f(x) - f(y)| \le 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ है। यदि $f(0) = 1$ है,तो $\int_{0}^{1} f^2(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।